понедельник, 23 августа 2010 г.

Векторное произведение

Милая задачка, доступная первокурснику (или школьнику, знающему, что такое векторное произведение).

Пусть i,j,k - ортонормированный базис трехмерного евклидова пространства. Как известно, трехмерные векторы можно векторно перемножать. Также широко известно, что операция векторного произведения не является ассоциативной. Например, [ [i , j] , j] = -i, но [i , [j , j] ] = 0. Поэтому в произведении N векторов важно, как расставлены скобочки --- это влияет на результат умножения.
Пусть A и B -- две произвольные расстановки скобочек. Доказать, что существует набор векторов v_1,...,v_N, таких что их произведения, посчитанные с помощью расстановок A и B совпадают (и не равны 0), причем каждый из векторов v_s является одним из базисных: i , j или k.

(Замечание: без последних двух условий задача была бы тривиальной --- достаточно было бы взять нулевые векторы. Кто заранее знает решение этой задачи --- просьба не палить))).

Комментариев нет:

Отправить комментарий