вотэтазадача 2. Сангаку

Рассмотрим прямую L и точку B, не лежащую на этой прямой. На прямой L отметили точки ...,A-1, A0,A1,A2,..., индексированные целыми числами в правильном порядке. Причем окружности, вписанные в треугольники BAiAi+1 оказались равными при всех i. Доказать, что для любого k окружности, вписанные в треугольники BAiAi+k, также будут равны при всех значениях i.

1 комментарий:

  1. Одна из самых красивых задач-сангаку (ритуальная японская планиметрия). Общая информация про сангаку - гуглить (или, например, http://en.wikipedia.org/wiki/Sangaku). Решение задачи: заметить, что координаты точек на прямой образуют последовательность вида sh(a_n), где a_n --- арифметическая прогрессия, а sh() --- шинус. Если такую последовательность проредить, то вновь получится последовательность такого вида, что доказывает задачу. Для любителей шинусов подробности здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Equal_Incircles_Theorem
    Геометрическое доказательство без шинусов http://www.cut-the-knot.org/triangle/EqualIncirclesTheorem.shtml

    ОтветитьУдалить