Я долго тупил над этой задачей, хотя, возможно, она очевидна.
Рассмотрим координатное пространство R^n со стандартным скалярным произведением. Рассмотрим линейное подпространство L и его ортогональное дополнение K. Доказать, что в одном из этих пространств лежит ненулевой вектор с неотрицательными координатами.
Недавно обнаружил, что у прикладников встречается понятие систем Леонтьева. Возможно, это имеет отношение к сабжу, но это не точно.
Основная идея здесь -- теорема Минковского о еже (простая ее часть). Пусть плоскость П не содержит неотрицательных векторов. Рассмотрим аффинную плоскость П1=П+(1,1,...,1). Ее пересечение Р с неотрицательным ортантом (т.е. множеством всех точек с неотрицательными координатами) является непустым полиэдром. Этот полиэдр ограничен, так как в противном случае П содержала бы неотрицательный вектор. То есть Р является выпуклым многогранником. По теореме Минковского вектор (S1,...,Sn) перпендикулярен плоскости П1 || П, где Si>0 --- объемы гиперграней многогранника P. Доказано.
ОтветитьУдалить