Рассмотрим k независимых векторов в n-мерном вещественном пространстве. Выпишем их в kxn-матрицу. Выпишем под этой матрицей еще одну матрицу, составленную из каких-нибудь базисных линейных соотношений на исходные вектора.
Пример: k=2, n=4.
1 1 1 1
1 2 3 4
-------------
1 -1 -1 1
-1 2 -1 0
Выберем максимальный минор (какой-нибудь) верхней матрицы и "дополнительный минор" нижней матрицы. Например
|1 1| 1 1 минор {1,2}
|1 2| 3 4
--------------
1 -1 |-1 1| минор {3,4}
-1 2 |-1 0|
или
1 |1| 1 |1| минор {2,4}
1 |2| 3 |4|
--------------
|1 |-1 |-1| 1 минор {1,3}
|-1| 2 |-1| 0
Любопытный факт: модуль отношения верхнего минора к нижнему не зависит от минора.
Интересующимся: ищите по термину "определитель точной последовательности"
Сама задача, полагаю, осознается через такое геометрическое соображение: угол между k-мерными плоскостями равен углу между их ортогональными дополнениями. Минор в числителе равен скалярному произведению плоскости на данных векторах и соответствующей координатной плоскости (скалярное произведение на соответствующих внешних формах), а в знаменателе --- скалярное произведение их ортогональных дополнений. Короче, тут надо немного помудрить с внешними формами, скалярными произведениями и оператором Ходжа.
ОтветитьУдалитьОднако, с этой задачей связана более общая наука, так называемые определители оснащенных точных последовательностей. Если в точной последовательности в каждом векторном пространстве фиксирован базис, определяется некое число --- определитель точной последовательности. На этой конструкции основаны всякие крутые топологические инварианты (например, позволяющие различать простой гомотопический тип). Определение и основные факты можно прочитать в приложениях к Gelfand, Kapranov, Zelevinsky "Discriminants, resultants and multidimensional determinants"