В курсе алгебры изучается такой факт: группа собственных движений додекаэдра изоморфна группе четных перестановок. В свое время интересовал вопрос: как бы это так естественным образом доказать. На рисунке доказательство:

В додекаэдр вписываются пять тетраэдров. Каждое собственное движение додекаэдра осуществляет перестановку тетраэдров, т.е. перестановку на множестве из пяти элементов. Гомоморфизм из группы в группу построен, дальше - дело техники. 

Такое чудо можно собрать самому, что я разумеется и сделал. Вот оригинальная схема, придуманная Томом Халлом http://mars.wnec.edu/~th297133/fit.html