вотэтазадача 27. Тела, которые выглядят как эллипсоиды

Такая задача придумалась на досуге.

1) Доказать, что любая ортогональная проекция эллипсоида на плоскость --- эллипс.

2) Верно ли, что выпуклое тело, все ортогональные проекции которого --- эллипсы, является эллипсоидом?

И еще лайт-версия: верно ли, что выпуклое тело, все ортогональные проекции которого --- круги, является шаром?

Заметьте, что на плоскости аналог этого факта не верен. Релевантная ссылка.

1 комментарий:

  1. 1. Пусть F(x,y,z)=0 --- уравнение эллипсоида. Пусть u,v,w --- ортонормированный базис. Общая прямая, перпендикулярная плоскости имеет вид l_{a,b} = au+bv+tw, где t --- параметр на прямой, а a,b --- фиксированные числа (они равны координате проекции этой прямой на плоскость ). Контур проекции эллипсоида на получается из тех прямых l_{a,b}, которые пересекают эллипсоид ровно в одной точке. В этом случае уравнение F(au+bv+tw)=0 относительно t должно иметь ровно один корень. Это квадратное уравнение, значит должно быть D=0. Легко видеть, что D --- квадратичное выражение от a,b, значит контур проекции --- кривая второго порядка. Очевидно, что это не может быть ничего кроме эллипса.

    2. У меня здесь были не до конца оформленные соображения, и я поленился их записать.

    ОтветитьУдалить