В одном из наших лабных чатов обсуждался наивный вопрос, индуцировавший у меня некий поток сознания. Кмк, можно все это вынести на более широкое обозрение/обсуждение. Вопрос:
У каких замкнутых многообразий есть атлас из двух карт?
(ага, типа горжусь, что подобные вопросы обсуждаются на фкн:)
Ответ, очевидно, зависит от того, что понимается под словом карта.
Вариант 1, который, считался дефолтным в обсуждении. Карта - это что-то стягиваемое, типа диска. Тогда это как будто вопрос о категории Люстерника-Шнирельмана (кстати, а это правда?). Хочется сказать, что категория = 2 только у гладких многообразий гомеоморфных сфере, в том числе у экзотических.
В размерности 2 это так: у всех поверхностей кроме сферы слишком большая когомологическая длина. В размерности 3 тоже так: например, см. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938392900097 + Пуанкаре/Перельман. В общей размерности из cat=2 вытекает что когомологическая длина равна 1, а значит многообразие - гомологическая сфера. Что делать с зазором между гомологическими сферами и настоящей сферой - я не знаю, нужны специалисты. Чую, что у нетривиальной гомологической сферы не может быть атласа из двух стягиваемых карт, но доказать не умею.
Вариант 2. Карта - это любое открытое множество U нашего Mn, гомеоморфное области в Rn. Формальное определение атласа именно такое, на самом деле.
Тут имею сказать интересную вещь.
Во-первых, любая ориентируемая 2-поверхность имеет атлас из двух карт (например, тор можно склеить из двух аннулюсов, - всратое видео с китайской фабрики не даст соврать https://www.youtube.com/watch?v=QkPqGnXD-yA ). У неориентируемых: атлас из 2 карт есть у поверхностей четного рода, а у неориентируемых нечетного рода как будто нет (задача).
Во-вторых, у любого трехмерного многообразия есть атлас из двух карт. Возьмем разбиение Хегора и каждую из двух компонент немного утолстим, чтобы получить открытое множество. Получили два множества, каждое из которых - открытый шар с ручками - вполне себе вкладывается в R3. Чем не карты.
В-третьих, кажется, что фокус с разбиением Хегора работает с любым многообразием нечетной размерности >1. Возьмем у (2n+1)-мерного многообразия M триангуляцию K, двойственное ей клеточное разбиение L, и разобьем M в объединение окрестностей n-мерного остова K и n-мерного остова L. Оба остова вкладываются в R2n+1, уж наверное, их окрестности тоже вложатся. Опять же получили атлас из двух карт.
(про высокомерного Хегора тут обсуждают https://mathoverflow.net/questions/81041/higher-dimensional-heegaard-splittings правда вложимость окрестностей аккуратно проверять надо, например через индуктивное приклеивание ручек. Есть ощущение, что ручки малого индекса, а объемлющее пространство большой размерности. Места для приклейки ручек вроде должно хватить, но это не точно.)
С четномерными многообразиями как-то совсем не понятно, - даже 2-мерный случай заставляет задуматься.
Такая вот задача внезапная.
Комментариев нет:
Отправить комментарий