вотэтазадача 79. Гомологии 2-мерного тора.

Недавно в нашем секретном проекте в качестве побочки возник неожиданный эмпирический факт. Он немного искусственный, но я подумал, что это как раз хороший пример концептуальной геометрической задачи, которых в сей науке дефицит. Итак, задача.

Рассмотрим стандартную квадратную решетку на плоскости с чебышевской метрикой. Свернем ее в тор по некоторой целочисленной подрешетке, и индуцируем чебышевскую метрику на такой тор. Теперь у нас есть тор, а целые точки исходной решетки дают на нем некую конечную выборку. Посчитаем устойчивые гомологии этого облака.

Наука ТАД нам говорит, что вокруг каждой точки надо выращивать шарик (в чебышевской метрике квадрат, см. рисунок) и смотреть, как выглядит объединение этих квадратиков. И вроде бы понятно, что там вначале будет куча 0-мерных гомологий, потом они все одномоментно помрут (квадраты слипнутся) и останется 2-тор - с двумя 1-гомологиями и одной 2-гомологией. А потом все слипнется в ацикличный кластер. Ну может быть одна 1-мерная гомология, соответствующая более длинному меридиану, поживет чуть подольше. Но суть-то понятно, что такая, как описано.

А вот оказывается, что нихрена подобного. Если тор сделать немного скошенным, то где-то после смерти 2 гомологии внезапно рождается ТРЕТЬЯ гомология, и вполне устойчиво живет какое-то время. Можете сами потестить на порождающих векторах (8,0) и (2,8) или погонять мой код.

Это пока совершенно непонятный феномен. Моя гипотеза в том, что эта призрачная 3-гомология - это 3-сфера, полученная склейкой двух полноториев по исходному тору, но почему так, я толком не понимаю. Если это действительно так, то можно пойти дальше, и попытаться у n-мерного тора, покрытого кубиками, найти (2n-1)-мерную устойчивую гомологию. А можно даже попытаться в устойчивых гомологиях тора гомологии произвольных момент-угол комплексов. Ведь момент-угол - это как раз про то, что у тора некоторая часть окружностей заклеивается дисками, кажется, тут такое может возникнуть. Есть неиллюзорный шанс натянуть на ТАД торическую топологию:)

А еще можно экспериментально потыкать другие наборы порождающих векторов, и убедиться, что 3-гомологий иногда бывает больше одной, а иногда вообще не бывает.

Ну и вполне может статься, что всё это баг рипсера, и я вам тут просто дичь втираю про 3-гомологии 2-тора. Это понять тоже было бы ценно.

вотэтазадача 78. Флаг Непала.

 Википедия выдает вот такую формулу для отношения сторон флага Непала.

Докажите эту уберформулу, пользуясь непальской конституцией.

вотэтазадача 77. Вложение плоского тора.

Такая возникла прелюбопытная штука.

Вот 2-мерный тор можно вложить в R^4 так, чтобы метрика была плоской: можно просто перемножить окружность в R^2 на другую окружность в другом R^2. Но это получится тор, свернутый из прямоугольника. А вот можно ли изометрично вложить в R^n плоский тор, свернутый из косого параллелограмма?

Речь про бесконечно гладкое вложение, конечно. Для 1-гладкого можно теоремой Нэша пожамкать.

вотэтазадача 76. Пятнашки на графе.

Устройство сабжа должно быть очевидно из названия. Для каких графов такая "пятнашка" собирается из любого состояния в любое?

Вопрос возник из из подсчета гомологий графикаэдров в текущем математическом проекте.

вотэтазадача 75. О социальном дистанцировании.

На лавке в метро n мест. Правильной рассадкой людей на лавку называется рассадка, при которой никакие два человека не сидят рядом. Правильные рассадки образуют симплициальный комплекс K_n. Опишите его гомотопический тип.

вотэтазадача 74. Элементарные функции.

Наивный вопрос к знатокам алгебры и теории чисел, ответ на который я не смог нагуглить.

На матане я упоминаю неберущиеся интегралы, в связи с чем вводится понятие элементарной функции. Совсем строгое определение надо еще поискать, но те определения, которые приводятся во всяких энциклопедиях, говорят, что элементарная функция - это функция, выражение для которой может записать канонический 11-классник. То есть это нечто, полученное конечным числом арифметических действий и композиций из степенных функций, экспонент, логарифмов, тригонометрических и обратных тригонометрических функций (всякие модули и кусочно заданные функции в этот класс тоже попадают, но это уже следствие). Однако никто не закладывает в определение элементарной функции возможность брать функционально обратные.

Вопрос: получается, что не все алгебраические функции являются элементарными? И каков статус этого утверждения?

Вот например корень Бринга https://ru.wikipedia.org/wiki/Корень_Бринга не выражается через арифметические действия и композиции степенных функций. А вдруг, если добавить в арсенал щепотку арксинусов и экспонент, то уравнения 5-ой степени начнут разрешаться красивыми формулами?

вотэтазадача 73. Про звездное небо над головой.

Наверняка многие слышали такое рассуждение, доказывающее конечность вселенной в классической космологии - фотометрический парадокс Ольберса. Немного утрируя: если бы звезд было бесконечно много, то ночное небо было бы равномерно белым.

Людей с квадратно-гнездовым мышлением это наводит на естественную задачу. Допустим, что звезды - это шары радиуса эпсилон в вершинах правильной кубической решетки. В начало координат мы звезду ставить не будем, потому что там сидит наблюдатель. 

Верно ли, что любой луч из начала координат пересекает хотя бы одну звезду?

Кстати, если посадить наблюдателя в центр ячейки кубической решетки, то темные направления у него вполне могут быть, см. T. W. Cusick. View-Obstruction problems, Aequationes Math. И там возникают диофантовы приближения и прочая приятная теория чисел.

вотэтазадача 72. Торические многообразия пополам.

Для тех, кто поймет формулировку, но и пофиг, она забавная. Если на квазиторическом многообразии действует тор T^n, то пространство орбит - это простой многогранник. Если на малом накрытии действует дискретный тор (Z/2)^n, то пространство орбит - это простой многогранник. А что из себя представляет пространство орбит действия дискретного тора (Z/2)^n на квазиторическом многообразии?

Можно убрать приставку "квази" и задаться тем же вопросом для торических многообразий соответственно в алгебраической категории.

вотэтазадача 71. Ориентируемость свойства.

Преамбула есть в таксебемысле 24

Задача: верно ли, что свойство погружаемости графа на n вершинах в поверхность рода g является ориентируемым псевдомногообразием?

вотэтазадача 70. О магах и многообразиях.

Вернее, даже несколько задач, родившихся после одной лмшовой игрушки. Дан маг, который огненным заклинанием дамажит всех врагов, находящихся внутри некоторого угла атаки. Угол атаки равен уровню мага (будем считать, что это положительное вещественное число). На практике, конечно, заклинание работало только на отдельно взятом поле боя.

Предположим теперь, что действие происходит во вселенной, представляющей собой двумерное риманово многообразие, и допустим, что огненная волна, кастуемая магом, выжигает всю территорию, находяющуюся между двумя геодезическими. Тогда степень катастрофичности одного заклинания, даже в исполнении слабого мага, зависит от геометрии вселенной.

Если дело происходит на круглой сфере, то маг выжигает сферический двуугольник от точки, где стоит, до диаметрально противоположной точки. Если дело происходит на плоском торе, то маг любого положительного уровня одним заклинанием сжигает нахрен всю вселенную (потому что любой конус на плоскости содержит фундаментальную область решетки). Компактная 2-мерная вселенная постоянной отрицательной кривизны как будто обречена по той же причине.

Аналогично можно рассмотреть магов на 3-мерном многообразии: они бьют внутри телесного угла, который продолжается вдоль геодезических.

Задачи, собственно. Тут есть разные варианты с кванторами, да и другая креативность в трактовке приветствуется. Скажем, что компактное связное ориентируемое риманово многообразие обречено, если существует точка на многообразии (или для любой точки на многообразии?), из которой маг уровня эпсилон может сжечь (или сжигает в любом случае?) всю вселенную.

1) Правда ли, что обреченные 2-многообразия - это только сферы с 1 и более ручками?

2) Какие из 3-мерных геометрий Тёрстона обречены?

3) Верно ли, что обреченные 3-мерные многообразия - это все кроме эллиптических? Как бы подкрутить определение обреченного многообразия, чтобы это было правдой?

вотэтазадача 69. Продолжение многочлена.

В пространстве R^n задана конфигурация гиперплоскостей (проходящих через 0). При каком условии на конфигурацию любой набор многочленов, заданных на гиперплоскостях и согласованных на их пересечениях, продолжается до многочлена на всем R^n?

Задача родилась из работы со спектралками для эквивариантных когомологий торических действий. Особенно забавно, что частное решение, которое выработалось у нас в переписке в Лаврентином Арутюняном, опирается на производные, и алгебры в нем нет вообще.

вотэтазадача 68. Про когерентный джойн многообразий Штифеля.

Мне пришла в голову эта мысль, но додумать до логического конца не удалось. Вдруг у кого-нибудь будут идеи.

Есть такая комбинаторная штука - матроид. Я немного писал о матроидах тут link, но так-то вообще википедия в помощь. (офтоп: меня в какой-то момент порадовало, что на ФКНе этому учат на алгоритмах - это было неожиданно, я как-то привык на матроиды совсем с другой стороны смотреть).

У матроидов есть куча разных эквивалентных определений, через независимые множества, через циклы, через ранговую функцию, через флэты (плоскости). Мотивирующий пример матроида - конечный набор M векторов в конечномерном векторном пространстве V над произвольным полем. В этом случае, подмножество I векторов из M называется независимым, если эти векторы линейно независимы. Пересечение произвольного векторного подпространства пространства V с M называется флэтом (у Гельфанда-Сергановой терминология "лист") матроида M.

Так вот, каждому матроиду можно сопоставить несколько важных частично упорядоченных множеств, порядок везде - по включению. 1) Чум независимых множеств. Этот чум автоматически является симплициальным комплексом: если набор векторов линейно независим, то и любой его поднабор тоже линейно независим. 2) Чум флэтов. Этот чум уже не является симплициальным комплексом. Но он является геометрической решеткой: флэты можно пересекать (геометрическое пересечение плоскостей) и объединять (сумма подпространств). 3) Там еще есть чум разомнутых циклов, но это, на мой взгляд, какая-то противоестественная хрень, нафиг ее.

По любому чуму можно построить топологическое пространство - симплициальный комплекс. Взять в качестве вершин элементы чума, а в качестве симплексов - цепи, т.е. вполне упорядоченные подчумы. Когда видишь эту конструкцию впервые, то это кажется чем-то странным, но опыт показывает, что вот именно так и надо делать.

Так вот, Бьорнер доказал следующие неочевидные на первый взгляд вещи: 1) геометрическая реализация комплекса независимых множеств (из которого выкинули пустое множество) гомотопна букету сфер одной размерности 2) геометрическая реализация чума флэтов (из которого выкинули минимальный и максимальный флэты) гомотопна букету сфер одной размерности 3) с третьим чумом та же история. Первый факт на более наукообразном языке звучит как "комплекс независимых подмножеств матроида является комплексом Коэна-Маколея".

Большой магии в этих утверждениях, впрочем, нет: надо доказывать по индукции, добавляя элементы матроида один за другим, и следя за тем, что происходит с соответствующими топологическими пространствами. А происходит то, что к букету сфер (имеющемуся по индуктивному предположению) прицепляется конус над букетом сфер меньшей размерности (опять же по индуктивному предположению). Меньший букет внутри большего букета можно стянуть в точку, откуда счастье.

Теперь рассмотрим бесконечный матроид R^n, т.е. совокупность всех векторов вещественного пространства. Для него можно рассмотреть чум St независимых подмножеств. Это континуальный чум, но, что хорошо, на нем есть естественная топология. Действительно, St имеет n дизъюнктных компонент St_1, St_2,..., St_n, где элементами St_i являются неупоядоченные линейно независимые наборы из i элементов, т.е. St_i это такая некомпактная версия многообразия Штифеля, по модулю группы перестановок, на нем понятно какая топология.

А еще у матроида R^n есть чум Gr флэтов, т.е. всевозможных векторных подпространств в R^n (будем считать, что кроме самого R^n). На Gr тоже есть естественная топология: Gr разбивается на компоненты связности Gr_1, Gr_2,...,Gr_{n-1}, где Gr_i - множество i-мерных подпространств в R^n, то есть попросту грассманиан. И на нем тоже понятно какая топология.

У чумов, на которых есть топологическая структура, можно определить геометрическую реализацию, которая учитывает исходную топологическую структуру. Как и в дискретном случае, мы натягиваем симплекс на каждую цепь, а потом на объединении вводим правильную топологию, согласованную с топологией исходных вершин.

Так вот теорема Васильева гласит, что геометрическая реализация чума Gr флэтов в R^n (когерентный джойн цепочек вложенных грассманианов) гомеоморфна сфере. Что как бы намекает на аналогию с теоремой Бьорнера про конечные матроиды и приводит к такому вопросу:

А чему гомотопна геометрическая реализация топологического чума St (когерентного джойна многообразий Штифеля, сфакторизованных по перестановкам)?

И вот еще небольшое продолжение.

вотэтазадача 67. Торические многообразия над додекаэдром.

В нашей науке есть такая полу-фольклорная задача, с элементарной формулировкой и (пока) без элементарного доказательства.

Пусть выпуклый трехмерный многогранник обладает следующими свойствами:

1) К каждой вершине примыкают ровно три грани.

2) Нормальный вектор к каждой грани можно выбрать целочисленным.

3) Для каждой вершины нормали примыкающих к ней граней образуют базис целочисленной решетки (т.е. матрица, составленная из этих трех целочисленных векторов имеет определитель +/-1).

Тогда у этого многогранника есть треугольная или четырехугольная грань.

В частности, отсюда следует, что над додекаэдром не бывает гладких проективных торических многообразий. А вот негладкие проективные торические бывают. И гладкие непроективные торические бывают. И гладкие квазиторические бывают.

вотэтазадача 66. Триангуляция куба.

На своем докладе Мусин упомянул такую милую задачу, утверждает, что гроб: на какое количество n-мерных симплексов можно триангулировать n-мерный куб? Триангуляции грань-к-грани, лишних вершин нет.

Ну то есть понятно, что на n! можно. А на какие еще числа?

вотэтазадача 65. Циклы в симплициальном многограннике.

Придумать многогранник, у которого все грани треугольные, и на каждом ребре задана стрелочка, так что

а) ни на одной грани нет движения по циклу

б) в любую вершину многогранника можно войти и выйти по стрелочкам.

Задачко не великой сложности, однако забавно, что она родилась в процессе доклада про гомологии на Факультете фундаментальной медицины.

А еще это похоже на вотэтузадачу 21.

вотэтазадача 64. Ортогональные и стохастические матрицы.

Две задачи. 

Одна родилась при чтении курса по матрицам и многогранникам в Дубне, вторая - при чтении курса по квантовой информатике в ЛМШ. Идейно, однако, очень близкие.

1) Если взять унитарную матрицу и заменить в ней каждый элемент на квадрат его модуля, то получится дважды стохастическая матрица. Правда ли, что любая дважды стохастическая матрица получается таким образом из какой-то унитарной?

* с ортогональными ответ, очевидно, нет: для тех, которые получаются из ортогональных, есть даже клёвый термин: "ортостохастические матрицы".

2) Назовем число n хорошим, если существует ортогональная матрица размера n, такая что модули всех ее элементов равны. Найти все хорошие числа.

вотэтазадача 63. Спектралки в элементарной геометрии.

Прекрасную задачу рассказал Аркадий Скопенков на Постниковском семинаре. Среди любых 11 точек в трехмерном пространстве можно выделить три непересекающихся тройки точек, такие что треугольники с вершинами в этих тройках пересекаются.

Было сказано, что решать эту задачу без спектральных последовательностей человечество пока не умеет.

вотэтазадача 62. Пространства орбит.

Еще один вопрос, который меня по науке интересовал, но сейчас вопрос закрыт.

На пространстве F полных комплексных флагов в C^3 эффективно действует компактный двумерный тор T. Доказать, что пространство орбит F/T гомеоморфно 4-мерной сфере. Хочется самое простое объяснение.

Бухштабер-Терзич доказали это, а также аналогичный факт для грассманиана:  КомплексныйГрассманиан_{4,2}/ТрехмерныйТор - это пятимерная сфера. Но у них довольно мудрёно, - можно проще.

вотэтазадача 61. Флаги и группа кватернионов.

Я как-то раньше о таком не задумывался, хотя факт вроде нехитрый. Короче, рассмотрим трехмерное многообразие M полных флагов в R^3 (т.е. пар (прямая, плоскость), где прямая содержится в плоскости). Фундаментальная группа M - это группа кватернионов Q_8.

А еще есть забавный канонический способ разбить M на 8 бубликов, но про это как-нибудь потом.

вотэтазадача 60. Половинка фуллерена (лучшая).

Задача, которую в одно время активно пиарил Бухштабер. Плоскость разбита на пяти- и шестиугольники, которые стыкуются по три в каждой вершине. Доказать, что пятиугольников не больше шести.

Релевантная новость на N+1 

вотэтазадача 59. Про ловлю преступника по мобильнику.

Я почитал Ю Несбё и придумал задачу.

Сотовая вышка ловит сигнал мобильника с расстояния 1 км. Преступник, забывший выключить телефон, затаился где-то в бесконечном городе. Полиция хочет отследить преступника с погрешностью не больше 10 м, пользуясь данными о том, какие сотовые вышки ловят его сигнал. 

Вопрос: каково оптимальное расположение вышек, при котором они всегда смогут это сделать? Т.е. фактически вопрос: есть ли вариант существенно лучше, чем понатыкать вышек через каждые 10 метров?

вотэтазадача 58. Производные от многочлена.

Люди часто спрашивают меня знаю ли я Тайлера Дёрдена нужны ли человеку алгебры с двойственностью Пуанкаре, если человек не тополог. 

Так вот, они нужны для решения такой задачи.

Пусть P - однородный многочлен степени n от скольки-то переменных. Обозначим через d(i) размерность подпространства многочленов, порожденного всеми частными производными порядка i от P. Доказать, что d(i)=d(n-i).

вотэтазадача 57. Графомания про интровертов.

Назовем человека экстравертом, если число его друзей строго больше чем в среднем у его друзей, и интровертом в противном случае. Верно ли что всегда:

а) есть экстраверты?

б) есть интроверты?

в) интровертов больше?

г) интровертов хотя бы два?

вотэтазадача 56. Диагонали матриц.

То, что меня в то время по науке интересовало.

а) Рассмотрим все эрмитовы матрицы размера 3х3, у которых правый верхний (и следовательно левый нижний) элементы равны нулю, а собственные числа — {1,2,3}. Описать геометрически множество всех возможных диагональных элементов таких матриц.

б) Рассмотрим все трехдиагональные (т.е. а_13=а_14=а_24=0) эрмитовы матрицы размера 4х4 с собственными числами {1,2,3,4}. Вопрос тот же. (Это будет множество в R^4, но оно попадает на гиперплоскость {a_11+a_22+a_33+a_44=const}, поэтому ответ будет трехмерным.)

в) Тот же вопрос, что и в (б), только ненулевые элементы допускаются лишь на диагонали, в первой строчке и в первом столбце.

Интересно, что в ответе вылезает какой-то нетривиальный кубический комплекс. Ну а это https://en.wikipedia.org/wiki/Kostant's_convexity.. в качестве стартовой точки.

вотэтазадача 55. Отдаляющийся горизонт.

Были в Адыгее и наблюдали такой эффект: идешь по гладкому травяному холму вверх и вроде кромка уже близко, а за ней уже должна быть панорама, но пока идешь, кромка отодвигается все дальше и дальше и до красивого вида мы так и не дошли. Так вот задача:

Какой должна быть форма выпуклого холма, чтобы идущий по нему человек видел кромку всегда на одинаковом расстоянии от уровня глаз?

вотэтазадача 54. Бойяи-Гервин на сфере.

Мне быстро подсказали, что это известный вопрос с известным ответом. Но в свое время, однако, было интересно: 

Верна ли теорема Бойяи-Гервина на сфере?

вотэтазадача 53. Разрезание дырявых тортиков.

Верно ли, что любую замкнутую поверхность в R^3 рода g можно посечь плоскостью, чтобы в сечении было g+1 компонент связности (или больше)?

Еще одна дурацкая задача, которая на самом деле не про то, про что кажется.

вотэтазадача 52. Сферик Рубика.

Сферик Рубика представляет из себя двумерную сферу, в которой можно прокручивать любую полусферу относительно ее дополнения. Верно ли, что из конечного множества точек на сфере можно получить любое другое множество такой же мощности?

Тот же вопрос для занумерованных множеств.

Ништяк тому, кто придумает физическую реализацию такой хреновины.

*Никита Медведь мне сказал, что это же про бесконечную транзитивность, и алгебраисты такое любят.

вотэтазадача 50. Про джентльменов.

Это была тематическая задача на 23 февраля.

Вообще я не люблю логические головоломки (типа, про мудрецов, лжецов, тигров, принцесс и прочих ненормальных упырей). Однако, приведу отрывок из одного известного английского писателя, который, по моему скромному мнению, просто напрашивается стать основой для серии логических задач.

«— А вы мне объясните, пожалуйста, что такое джентльмен, — спросил Уикс.

— Ну, как вам сказать... кто же этого не знает?

— Ну вот вы — джентльмен?

На этот счет у Филипа никогда не было сомнений, но он знал, что о себе так говорить не полагается.

— Если кто-нибудь сам называет себя джентльменом, можно держать пари, что он им никогда не был, — возразил он.

— А я джентльмен?

Правдивость мешала Филипу прямо ответить на этот вопрос, но он был от природы вежлив.

— Вы совсем другое дело, — сказал он. — Вы же американец.

— Значит, мы пришли к выводу, что джентльменами могут быть только англичане? — совершенно серьезно произнес Уикс.

Филип не стал возражать.

— А вы не можете мне назвать еще какие-нибудь отличительные признаки джентльмена? — спросил Уикс.

Филип покраснел, но, все больше сердясь, уже не думал о том, что выставляет себя на посмешище.

— Могу назвать их сколько угодно. — "Нужно три поколения, чтобы создать одного джентльмена", — говорил его дядя; это было его любимой поговоркой, так же как и "не суйся с суконным рылом в калашный ряд". — Во-первых, для этого надо быть сыном джентльмена, затем надо окончить одно из закрытых учебных заведений, а потом Оксфорд или Кембридж...

— Эдинбургский университет, верно, не подойдет? — ввернул Уикс.

— И еще для этого надо говорить по-английски, как джентльмен, и одеваться как следует, и уметь отличать джентльмена от не-джентльмена...»

В основу определения Джентльмена перечисленные признаки по понятным причинам положить нельзя. Однако, задача о джентльменах. 

В некоторой компании англичан зафиксировано подмножество джентльменов. Англичане беседуют, собираясь в кружки, от участия в кружке отказываться не принято. Каждый джентльмен умеет отличать джентльмена от неджентльмена, и говорит правду, если в кружке есть хотя бы один джентльмен кроме него самого.

В компании никто ни с кем изначально не знаком. У компании есть немного времени на знакомство прежде чем уважаемое общество почтит своим присутствием некий известный Детектив, который не является ни джентльменом, ни не-джентльменом. Задача Детектива - достоверно определить множество джентльменов. Если он определяет его правильно, то джентльмены выигрывают, если нет - выигрывают не-джентльмены.

Кто выиграет, если:

а) Джентльмены воспринимают Детектива как джентльмена, и он об этом знает;

б) Детектив не знает, кем его считают джентльмены.

И возможные модификации условия:

в) Можно отказываться от участия в кружке;

г) Джентльмены всегда лгут на вопрос о принадлежности кого-либо к классу джентльменов, если в кружке кроме них нет других джентльменов

д) Задача сырая и я ее не до конца продумал. Ваши модификации и идеи других задач про джентльменов в студию.

вотэтазадача 49. Многогранная колбаса.

Рассмотрим выпуклый многогранник, у которого все грани - треугольники. Назовем разрезом многогранника любой замкнутый цикл, проходящий по ребрам многогранника. Назовем нарезкой набор непересекающихся разрезов. Каждая нарезка разбивает границу многогранника на куски. Назовем толщиной нарезки наибольшее количество вершин в получившихся кусках (включая вершины на границах кусков). Назовем жирностью многогранника наименьшую толщину назрезки.

Построить сколь угодно жирные многогранники.

вотэтазадача 48. Неправильные часы.

Часовых дел мастер укурился и произвел часы с неотличимыми минутной и часовой стрелками. Сколько раз в день по таким часам нельзя точно определить время?

Для зануд: циферблат 12-часовой; стрелки движутся равномерно непрерывно; секундной нет; в дне 12 часов; и, наконец, известно, что если бы стрелки были нормальными, то часы показывали бы точное время.

Кто поймет, при чем тут двойственность Пуанкаре и внешняя алгебра - тот молодец!

вотэтазадача 47. Массаракш!

Башня противобаллистической защиты облучает в пределах X км. Верно ли, что существует такое число N, что в любом покрытии заданной территории на планете можно оставить работающими не более N вышек, которые по прежнему облучают всю территорию?

вотэтазадача 46. Разрезания многоугольника от Циглера.

Послушал доклад Циглера, и не могу не выложить задачу оттуда, ибо красиво. Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на N выпуклых кусков равных площадей и равных периметров?

Собственно, Циглер доказал, что это верно для N — степени простого числа. Доказательство симпатичное, но ХАРДКОР, МЕСИВО, МОЗГИ ПО СТЕНАМ.

Для остальных N ответ пока не известен.

вотэтазадача 45. Ребус с определителем.

Выпускники нашего детсада, знакомые с определителями, умеют решать этот ребус. А вы? Как обычно: разные буквы - разные цифры, система счисления десятичная.

вотэтазадача 44. Число звёзд на небе.

а) Какое наименьшее число звезд должно быть на небе, чтобы из любой точки Земли можно было увидеть хотя бы две звезды? Более формально: какое наименьшее число точек нужно разместить на сфере, чтобы любая открытая полусфера содержала не меньше 2 точек? (*для замкнутых полусфер ответ очевиден)

б) Какое наименьшее число звезд должно быть на небе, чтобы из любой точки Земли можно было увидеть хотя бы k звезд?

в) Тот же вопрос для сферы произвольной размерности d.

вотэтазадача 43. Элементарная геометрия и степень отображения.

1) Докажите, что в треугольнике ABC найдется такая точка D, что окружности, вписанные в треугольнички ABD, BCD и ACD равны.

2) Верно ли, что такая точка единственна?

3) Построить эту точку или хотя бы описать какие-нибудь ее свойства.

4) Аналогичные вопросы для тетраэдра и сфер. 

вотэтазадача 42. Разрезание квадрата на нечетное число треугольников.

Квадрат нельзя разрезать на нечетное число треугольников равных площадей.

И постарайтесь без 2-адических нормирований на вещественных числах!

вотэтазадача 41. Соотношения на площади треугольников.

1) Ориентированной площадью S(ABC) треугольника ABC будем называть его площадь, если точки A,B,C идут против часовой стрелки, и минус его площадь, если точки A,B,C идут по часовой стрелке. Доказать, что для любых пяти точек A,B,C,D,E на плоскости выполнено соотношение

S(ABE)S(ACD) + S(ABC)S(ADE) = S(ABD)S(ACE)

(надеюсь, написал знаки правильно). Вот такие вот плюккеровы соотношения.

2) Очевидно, что для любых 4х точек ABCD выполнено также соотношение S(ABC) + S(ADB) + S(BDC) + S(ACD) = 0 (условие обнуления когомологического дифференциала, кстати, для тех, кто понимает эту фразу в скобках).

Рассмотрим теперь произвольное множество точек на плоскости A1, ... , An и для каждых трех Ai,Aj,Ak найдем ор.площадь S(ijk) треугольника, ими образованного. Помимо перечисленных линейного соотношения на каждые 4 точки и квадратичного соотношения Плюккера на каждые пять точек, существуют ли другие полиномиальные соотношения на величины S(ijk)?

3) Кстати, отдельная хорошая задача: осознать, как теорема Птолемея следует из плюккеровых соотношений.

вотэтазадача 39. Что-то кружковое.

Была у ученика в домашке, я сходу так не смог решить, показалась любопытным.

На окружности 21 точка. Доказать, что найдется хотя бы 100 пар точек, расстояние между которыми не больше трети окружности.

 

вотэтазадача 38. Про экзотические манхэттенские метрики.

В трехмерном евклидовом городе движение разрешено только по плоскостям, параллельным какой-нибудь из трех координатных: OXY, OXZ, OYZ. Проложить кратчайший маршрут из точки (0,0,0) в точку (x,y,z).

И дополнительный вопрос для тех, кто поймет формулировку: как выглядит единичный шар в получившейся метрике?

вотэтазадача 37. Про остроугольное разрезание.

На постниковском семинаре выступал Игорь Пак и рассказал классных задач.

Задача для всех...

1) Разрезать квадрат на остроугольные треугольники.

...и немного хардкора.

2) Любой многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.

3) Разрезать куб на тетраэдры с острыми двугранными углами.

4) Доказать, что с 5-мерным кубом так не получится.

вотэтазадача 36. Транзитивность в задачах на разрезание.

Прямоугольный параллелепипед с ребрами длиной в 8, 8, 27 см требуется распилить на 4 части, из которых можно было бы составить куб.

вотэтазадача 35. Про трехмерные шахматы.

Трехмерные шахматы играются в кубе NxNxN. Ладьи бьют вдоль координатных осей (то есть как обычные ладьи плюс ходы по вертикали). Вопрос:

а) Какое наибольшее число ладей можно поставить в шахматный куб так, чтобы они не били друг друга?

б) Сколькими способами можно это сделать?

 

вотэтазадача 34. Про пиццу.

Внутри круглой пиццы выбрали произвольную точку и через нее провели четыре разреза под углами 45 градусов. Доказать, что суммарная площадь четных кусков равна суммарной площади нечетных. 

Вроде, говорят, что обобщение этого факта доказали для произвольного разбиения на камеры Вейля и тела, симметричного относительно оного.

вотэтазадача 33. Про астроиду.

Еще такой классический матан, который можно решать как пользуясь знанием, что такое астроида, так и без оного знания с помощью заметания.

Внутри прямого угла двигается отрезок длины 1, так что его концы всегда остаются на сторонах угла. Найти площадь фигуры, заметаемой отрезком.

вотэтазадача 32. Геометрическая оптимизация в квадрате.

В квадрате 1х1 выбрали 7 фигур Ф1, Ф2,...,Ф7, так что Ф1 не пересекается с Ф2, Ф2 не пересекается с Ф3, Ф3 - с Ф4, ..., Ф7 не пересекается с Ф1. Какое наибольшее значение может принимать сумма площадей этих фигур?

вотэтазадача 31. Какой-то геометрический алгоритм.

1) На плоскости дано конечное множество точек. Доказать, что существует замкнутая несамопересекающаяся ломаная (многоугольник) с вершинами в этих точках.

2) Верно ли, что для произвольного множества точек в 3d существует многогранник (возможно невыпуклый, вестимо) с вершинами в этих точках?

вотэтазадача 26. Не задача, но коан.

Этим коаном Макс Гумин выносил мозги школьникам в ЛМШ, он действительно хорош.

Почему зеркало меняет местами право и лево и не меняет верх и низ?

вотэтазадача 24. Оккультная двоичная система.

На рисунке нарисована некая табличка. Известно, что четыре правых ячейки в верхней строчке заполняются рандомно, а вот оставшаяся таблица восстанавливается по ним однозначно. Вопрос: как?

вотэтазадача 19. Архимедова классика.

Придумать какое-нибудь простое и наглядное объяснение, почему площадь сферы в четыре раза больше площади круга того же радиуса.

вотэтазадача 17. Про бревно.

Классическая матанинская задачка.

Бревно какой наибольшей длины сможет проплыть через угол канала на рисунке? Тоже ответ доставил в свое время. 

вотэтазадача 15. Про "Сет".

Кажется, все математики, которые играли в эту игру, задавались таким вопросом. Какое наибольшее множество карточек не содержит ни одного сета?

Для тех, кто не понял о чем речь. Дано 4-хмерное аффинное пространство над полем из трех элементов. Назовем подмножество точек этого пространства плохим, если оно не содержит целиком ни одной аффинной прямой. Какова наибольшая мощность плохого множества?

вотэтазадача 12. Плоская электрическая цепь.

Придумать электрическую цепь, у которой:

1) один источник,

2) один сток,

3) через остальные узлы текут попарно различные токи,

4) сопротивление каждого ребра --- 1.

(да... подразумевается выполнение правил Кирхгофа и хорошо бы, чтобы цепь получилась плоской)

вотэтазадача 13. Покрытие прогрессиями.

Не очень сложная, но порадовала. Прикольно ставить крестики на прямой.

Можно ли покрыть множество целых чисел конечным числом арифметических прогрессий, разности которых не равны 1 и кроме того а) различны б) попарно взаимно просты?

вотэтазадача 11. Доминошки.

Как-то ученик задал наивный вопрос, и мне показалось, что это очень хороший вопрос. 

Сколькими способами можно выложить доминошки (все 28 штук) в линию, чтобы все они правильно стыковались?

вотэтазадача 9. Про Кощея и помехоустойчивое кодирование

Кощей Бессмертный похитил у царя трех дочерей. Отправился Иван-царевич их выручать. Приходит он к Кощею, а тот ему и говорит:

"Завтра поутру увидишь пять заколдованных девушек. Три из них - царевы дочки, а еще две - мои. Для тебя они будут неотличимы, а сами друг дружку различать смогут. Я подойду к одной из них и стану у нее спрашивать про каждую из пятерых: "Это царевна?". Она может отвечать и правду, и неправду, но ей дозволено назвать царевнами ровно двоих (себя тоже можно называть). Потом я так же опрошу каждую из остальных девушек, и они тоже должны будут назвать царевнами ровно двоих. Если после этого угадаешь, кто из них и вправду царевны, отпущу тебя восвояси невредимым. А если еще и догадаешься, которая царевна старшая, а которая младшая, то и их забирай с собой."

Иван может передать царевнам записку, чтобы научить их, кого назвать царевнами. Может ли он независимо от ответов кощеевых дочерей: а) вернуться живым; б) увезти царевен с собой?

Задача из матпраздника 2007г.

вотэтазадача 7. Разрезание тортиков.

На сколько кусков разбивают трехмерное пространство n аффинных плоскостей общего положения? И тот же вопрос для k-мерного пространства.