Люди часто спрашивают меня знаю ли я Тайлера Дёрдена нужны ли человеку алгебры с двойственностью Пуанкаре, если человек не тополог.
Так вот, они нужны для решения такой задачи.
Пусть P - однородный многочлен степени n от скольки-то переменных. Обозначим через d(i) размерность подпространства многочленов, порожденного всеми частными производными порядка i от P. Доказать, что d(i)=d(n-i).
Это решается с помощью такой штуки как двойственность Маколея - между однородными многочленами и алгебрами с двойственностью Пуанкаре. В каком-то виде это придумал Маколей (ну внезапно, да). Но вообще это стало особенно популярно в связи с многочленами объема и алгебрами когомологий торических многообразий (которые как раз связаны двойственностью Маколея). Такой контекст был открыт Хованским и Пухликовым. А потом доведен до алгебро-геометрического диалектического совершенства в кандидатской диссертации Тиморина. А потом пришли мы с Масудой и добавили туда топологии https://arxiv.org/abs/1509.03008 (там есть ссылки на все перечисленное).
ОтветитьУдалить