Наивный вопрос к знатокам алгебры и теории чисел, ответ на который я не смог нагуглить.
На матане я упоминаю неберущиеся интегралы, в связи с чем вводится понятие элементарной функции. Совсем строгое определение надо еще поискать, но те определения, которые приводятся во всяких энциклопедиях, говорят, что элементарная функция - это функция, выражение для которой может записать канонический 11-классник. То есть это нечто, полученное конечным числом арифметических действий и композиций из степенных функций, экспонент, логарифмов, тригонометрических и обратных тригонометрических функций (всякие модули и кусочно заданные функции в этот класс тоже попадают, но это уже следствие). Однако никто не закладывает в определение элементарной функции возможность брать функционально обратные.
Вопрос: получается, что не все алгебраические функции являются элементарными? И каков статус этого утверждения?
Вот например корень Бринга https://ru.wikipedia.org/wiki/Корень_Бринга не выражается через арифметические действия и композиции степенных функций. А вдруг, если добавить в арсенал щепотку арксинусов и экспонент, то уравнения 5-ой степени начнут разрешаться красивыми формулами?
Мне написали такое релевантное
ОтветитьУдалить"Строгое определение элементарной функции, с которым можно что-то доказывать, есть в статье Прасолова в 7 выпуске "Математического Просвещения": https://www.mccme.ru/free-books/matpros8.html"
и
"не ответ на этот вопрос, но все равно по теме: в книжке Хованского (которую я ещё не читал) что-то говорится про вопрос "можно ли решить данное уравнение N-й степени, умея решать все уравнения степени <k?" (теорема 4.5 на странице 168). https://www.mccme.ru/free-books/hov-galois/khovansky-galois.pdf "