Вернее, даже несколько задач, родившихся после одной лмшовой игрушки. Дан маг, который огненным заклинанием дамажит всех врагов, находящихся внутри некоторого угла атаки. Угол атаки равен уровню мага (будем считать, что это положительное вещественное число). На практике, конечно, заклинание работало только на отдельно взятом поле боя.
Предположим теперь, что действие происходит во вселенной, представляющей собой двумерное риманово многообразие, и допустим, что огненная волна, кастуемая магом, выжигает всю территорию, находяющуюся между двумя геодезическими. Тогда степень катастрофичности одного заклинания, даже в исполнении слабого мага, зависит от геометрии вселенной.
Если дело происходит на круглой сфере, то маг выжигает сферический двуугольник от точки, где стоит, до диаметрально противоположной точки. Если дело происходит на плоском торе, то маг любого положительного уровня одним заклинанием сжигает нахрен всю вселенную (потому что любой конус на плоскости содержит фундаментальную область решетки). Компактная 2-мерная вселенная постоянной отрицательной кривизны как будто обречена по той же причине.
Аналогично можно рассмотреть магов на 3-мерном многообразии: они бьют внутри телесного угла, который продолжается вдоль геодезических.
Задачи, собственно. Тут есть разные варианты с кванторами, да и другая креативность в трактовке приветствуется. Скажем, что компактное связное ориентируемое риманово многообразие обречено, если существует точка на многообразии (или для любой точки на многообразии?), из которой маг уровня эпсилон может сжечь (или сжигает в любом случае?) всю вселенную.
1) Правда ли, что обреченные 2-многообразия - это только сферы с 1 и более ручками?
2) Какие из 3-мерных геометрий Тёрстона обречены?
3) Верно ли, что обреченные 3-мерные многообразия - это все кроме эллиптических? Как бы подкрутить определение обреченного многообразия, чтобы это было правдой?
Комментариев нет:
Отправить комментарий