На постниковском семинаре выступал Игорь Пак и рассказал классных задач.
Задача для всех...
1) Разрезать квадрат на остроугольные треугольники.
...и немного хардкора.
2) Любой многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.
3) Разрезать куб на тетраэдры с острыми двугранными углами.
4) Доказать, что с 5-мерным кубом так не получится.
1. Вырезаем из серединки пятиугольник, и его доразбиваем через центр.
ОтветитьУдалить2. Триангулируем, потом см. рисунок. Можно даже сделать разбиение сторона-к-стороне, но это сложнее доказать.
3. Тут какое-то адище, которое неким хитрым образом получается из диаграммы Шлегеля 4-мерного аналога икосаэдра не без компьютерного перебора. Итоговое разбиение содержит несколько тысяч тетраэдров. Про это, вроде, Пак с учениками статью написали, можете поискать.
4. Тут я ошибся. Про 4-мерный непонятно. Надо доказать, что не существует остроугольной триангуляции (не диссекции!) гиперкуба на симплексы в размерностях, начиная с 5. Там были какие-то забавные оценки на комбинаторику через соотношения Дена-Соммервилля.
Про пункты 3-4 см. книгу Пака Igor Pak "Lectures on discrete and polyhedral geometry" Exercise 14.14 + указание и ссылки к нему в конце книги. Книга качается с его homepage.