Мне пришла в голову эта мысль, но додумать до логического конца не удалось. Вдруг у кого-нибудь будут идеи.
Есть такая комбинаторная штука - матроид. Я немного писал о матроидах тут link, но так-то вообще википедия в помощь. (офтоп: меня в какой-то момент порадовало, что на ФКНе этому учат на алгоритмах - это было неожиданно, я как-то привык на матроиды совсем с другой стороны смотреть).
У матроидов есть куча разных эквивалентных определений, через независимые множества, через циклы, через ранговую функцию, через флэты (плоскости). Мотивирующий пример матроида - конечный набор M векторов в конечномерном векторном пространстве V над произвольным полем. В этом случае, подмножество I векторов из M называется независимым, если эти векторы линейно независимы. Пересечение произвольного векторного подпространства пространства V с M называется флэтом (у Гельфанда-Сергановой терминология "лист") матроида M.
Так вот, каждому матроиду можно сопоставить несколько важных частично упорядоченных множеств, порядок везде - по включению. 1) Чум независимых множеств. Этот чум автоматически является симплициальным комплексом: если набор векторов линейно независим, то и любой его поднабор тоже линейно независим. 2) Чум флэтов. Этот чум уже не является симплициальным комплексом. Но он является геометрической решеткой: флэты можно пересекать (геометрическое пересечение плоскостей) и объединять (сумма подпространств). 3) Там еще есть чум разомнутых циклов, но это, на мой взгляд, какая-то противоестественная хрень, нафиг ее.
По любому чуму можно построить топологическое пространство - симплициальный комплекс. Взять в качестве вершин элементы чума, а в качестве симплексов - цепи, т.е. вполне упорядоченные подчумы. Когда видишь эту конструкцию впервые, то это кажется чем-то странным, но опыт показывает, что вот именно так и надо делать.
Так вот, Бьорнер доказал следующие неочевидные на первый взгляд вещи: 1) геометрическая реализация комплекса независимых множеств (из которого выкинули пустое множество) гомотопна букету сфер одной размерности 2) геометрическая реализация чума флэтов (из которого выкинули минимальный и максимальный флэты) гомотопна букету сфер одной размерности 3) с третьим чумом та же история. Первый факт на более наукообразном языке звучит как "комплекс независимых подмножеств матроида является комплексом Коэна-Маколея".
Большой магии в этих утверждениях, впрочем, нет: надо доказывать по индукции, добавляя элементы матроида один за другим, и следя за тем, что происходит с соответствующими топологическими пространствами. А происходит то, что к букету сфер (имеющемуся по индуктивному предположению) прицепляется конус над букетом сфер меньшей размерности (опять же по индуктивному предположению). Меньший букет внутри большего букета можно стянуть в точку, откуда счастье.
Теперь рассмотрим бесконечный матроид R^n, т.е. совокупность всех векторов вещественного пространства. Для него можно рассмотреть чум St независимых подмножеств. Это континуальный чум, но, что хорошо, на нем есть естественная топология. Действительно, St имеет n дизъюнктных компонент St_1, St_2,..., St_n, где элементами St_i являются неупоядоченные линейно независимые наборы из i элементов, т.е. St_i это такая некомпактная версия многообразия Штифеля, по модулю группы перестановок, на нем понятно какая топология.
А еще у матроида R^n есть чум Gr флэтов, т.е. всевозможных векторных подпространств в R^n (будем считать, что кроме самого R^n). На Gr тоже есть естественная топология: Gr разбивается на компоненты связности Gr_1, Gr_2,...,Gr_{n-1}, где Gr_i - множество i-мерных подпространств в R^n, то есть попросту грассманиан. И на нем тоже понятно какая топология.
У чумов, на которых есть топологическая структура, можно определить геометрическую реализацию, которая учитывает исходную топологическую структуру. Как и в дискретном случае, мы натягиваем симплекс на каждую цепь, а потом на объединении вводим правильную топологию, согласованную с топологией исходных вершин.
Так вот теорема Васильева гласит, что геометрическая реализация чума Gr флэтов в R^n (когерентный джойн цепочек вложенных грассманианов) гомеоморфна сфере. Что как бы намекает на аналогию с теоремой Бьорнера про конечные матроиды и приводит к такому вопросу:
А чему гомотопна геометрическая реализация топологического чума St (когерентного джойна многообразий Штифеля, сфакторизованных по перестановкам)?
И вот еще небольшое продолжение.
Комментариев нет:
Отправить комментарий