В нашей науке есть такая полу-фольклорная задача, с элементарной формулировкой и (пока) без элементарного доказательства.
Пусть выпуклый трехмерный многогранник обладает следующими свойствами:
1) К каждой вершине примыкают ровно три грани.
2) Нормальный вектор к каждой грани можно выбрать целочисленным.
3) Для каждой вершины нормали примыкающих к ней граней образуют базис целочисленной решетки (т.е. матрица, составленная из этих трех целочисленных векторов имеет определитель +/-1).
Тогда у этого многогранника есть треугольная или четырехугольная грань.
В частности, отсюда следует, что над додекаэдром не бывает гладких проективных торических многообразий. А вот негладкие проективные торические бывают. И гладкие непроективные торические бывают. И гладкие квазиторические бывают.
Мой рилейтед текст https://arxiv.org/abs/1607.03889
ОтветитьУдалить