1) Ориентированной площадью S(ABC) треугольника ABC будем называть его площадь, если точки A,B,C идут против часовой стрелки, и минус его площадь, если точки A,B,C идут по часовой стрелке. Доказать, что для любых пяти точек A,B,C,D,E на плоскости выполнено соотношение
S(ABE)S(ACD) + S(ABC)S(ADE) = S(ABD)S(ACE)
(надеюсь, написал знаки правильно). Вот такие вот плюккеровы соотношения.
2) Очевидно, что для любых 4х точек ABCD выполнено также соотношение S(ABC) + S(ADB) + S(BDC) + S(ACD) = 0 (условие обнуления когомологического дифференциала, кстати, для тех, кто понимает эту фразу в скобках).
Рассмотрим теперь произвольное множество точек на плоскости A1, ... , An и для каждых трех Ai,Aj,Ak найдем ор.площадь S(ijk) треугольника, ими образованного. Помимо перечисленных линейного соотношения на каждые 4 точки и квадратичного соотношения Плюккера на каждые пять точек, существуют ли другие полиномиальные соотношения на величины S(ijk)?
3) Кстати, отдельная хорошая задача: осознать, как теорема Птолемея следует из плюккеровых соотношений.
Решение.
ОтветитьУдалитьа. Делается простой тригонометрией, если вы школьник. В противном случае составим два 4-мерных вектора v = (x_B-x_A, x_C-x_A, x_D-x_A, x_E-x_A) и w = (y_B-y_A, y_C-y_A, y_D-y_A, y_E-y_A). Тогда указанное соотношение это и есть плюккерово соотношение для точки v˄w грассманиана Gr(4,2).
б. Все ли это полиномиальные соотношения, я не знаю.
в. Чтобы вывести Птолемея, надо применить к окружности отображение z-->z^{1/2}, то есть сократить все углы в 2 раза и заметить, что длины исходных отрезков выражаются через площади получившихся треугольников.