Внутри круглой пиццы выбрали произвольную точку и через нее провели четыре разреза под углами 45 градусов. Доказать, что суммарная площадь четных кусков равна суммарной площади нечетных.
Вроде, говорят, что обобщение этого факта доказали для произвольного разбиения на камеры Вейля и тела, симметричного относительно оного.
Решение.
ОтветитьУдалитьВообще, учитывая, что я даю эту задачу студентам, странно будет давать тут решение. Ну ладно, если они найдут это захолустье, то молодцы, чо.
Провернем все вокруг точки на угол эпсилон и посчитаем приращение площади для четных кусков. Получим epsilon/2 (d0^2+d2^2+d4^2+d6^2 - d1^2+d3^2+d5^2+d7^2). Если показать, что это приращение нулевое, задача доказана (потому что после поворота на 45 градусов четные куски перейдут в исходные нечетные, а общее приращение нулевое). То есть надо доказать, что d0^2+d2^2+d4^2+d6^2 = d1^2+d3^2+d5^2+d7^2.
Добавим к доказываемому равенству 2d0d4 = 2d1d5 и 2d2d6=2d3d7 (оба равенства следуют из теоремы о хордах). Тогда доказываемое равенство сведется к (d0+d4)^2+(d2+d6)^2 = (d1+d5)^2+(d3+d7)^2.
Лемма: Внутри окружности взяли произвольную точку и провели через нее две перпендикулярные хорды. Тогда сумма квадратов этих хорд зависит только от положения точки, но не от хорд. Из леммы задача следует очевидным образом.
Лемма доказывается простым применением т. Пифагора. Пусть хорды --- AC и BD, точка их пересечения X, OM и OL --- высоты из центра окружности на хорды AC и BD соответственно. Тогда AC^2+BD^2=4(R^2-OM^2+R^2-OL^2) = 4(2R^2-OX^2), ч.т.д.
Разумеется, это же доказательство позволяет доказать и более общие утверждения: например, если разделить пиццу на 12 частей, под углом 30 градусов, то 1,4,7,10 куски в сумме равны 2,5,8,11 и равны 3,6,9,12 и так далее.