То, что меня в то время по науке интересовало.
а) Рассмотрим все эрмитовы матрицы размера 3х3, у которых правый верхний (и следовательно левый нижний) элементы равны нулю, а собственные числа — {1,2,3}. Описать геометрически множество всех возможных диагональных элементов таких матриц.
б) Рассмотрим все трехдиагональные (т.е. а_13=а_14=а_24=0) эрмитовы матрицы размера 4х4 с собственными числами {1,2,3,4}. Вопрос тот же. (Это будет множество в R^4, но оно попадает на гиперплоскость {a_11+a_22+a_33+a_44=const}, поэтому ответ будет трехмерным.)
в) Тот же вопрос, что и в (б), только ненулевые элементы допускаются лишь на диагонали, в первой строчке и в первом столбце.
Интересно, что в ответе вылезает какой-то нетривиальный кубический комплекс. Ну а это https://en.wikipedia.org/wiki/Kostant's_convexity.. в качестве стартовой точки.
Рилейтед текст наш с Бухштабером https://arxiv.org/abs/1803.10449 Описанный кубический комплекс позволяет понять насколько ужасно многообразие изоспектральных матриц-стрелок, в том смысле, насколько его пространство орбит далеко от выпуклого многогранника. Оказалось, что очень далеко, и сейчас мы развиваем науку о том, что это потому что матрицы-стрелки очень хреново диагонализуются.
ОтветитьУдалить