Недавно в нашем секретном проекте в качестве побочки возник неожиданный эмпирический факт. Он немного искусственный, но я подумал, что это как раз хороший пример концептуальной геометрической задачи, которых в сей науке дефицит. Итак, задача.
Рассмотрим стандартную квадратную решетку на плоскости с чебышевской метрикой. Свернем ее в тор по некоторой целочисленной подрешетке, и индуцируем чебышевскую метрику на такой тор. Теперь у нас есть тор, а целые точки исходной решетки дают на нем некую конечную выборку. Посчитаем устойчивые гомологии этого облака.
Наука ТАД нам говорит, что вокруг каждой точки надо выращивать шарик (в чебышевской метрике квадрат, см. рисунок) и смотреть, как выглядит объединение этих квадратиков. И вроде бы понятно, что там вначале будет куча 0-мерных гомологий, потом они все одномоментно помрут (квадраты слипнутся) и останется 2-тор - с двумя 1-гомологиями и одной 2-гомологией. А потом все слипнется в ацикличный кластер. Ну может быть одна 1-мерная гомология, соответствующая более длинному меридиану, поживет чуть подольше. Но суть-то понятно, что такая, как описано.
А вот оказывается, что нихрена подобного. Если тор сделать немного скошенным, то где-то после смерти 2 гомологии внезапно рождается ТРЕТЬЯ гомология, и вполне устойчиво живет какое-то время. Можете сами потестить на порождающих векторах (8,0) и (2,8) или погонять мой код.
Это пока совершенно непонятный феномен. Моя гипотеза в том, что эта призрачная 3-гомология - это 3-сфера, полученная склейкой двух полноториев по исходному тору, но почему так, я толком не понимаю. Если это действительно так, то можно пойти дальше, и попытаться у n-мерного тора, покрытого кубиками, найти (2n-1)-мерную устойчивую гомологию. А можно даже попытаться в устойчивых гомологиях тора гомологии произвольных момент-угол комплексов. Ведь момент-угол - это как раз про то, что у тора некоторая часть окружностей заклеивается дисками, кажется, тут такое может возникнуть. Есть неиллюзорный шанс натянуть на ТАД торическую топологию:)
А еще можно экспериментально потыкать другие наборы порождающих векторов, и убедиться, что 3-гомологий иногда бывает больше одной, а иногда вообще не бывает.
Ну и вполне может статься, что всё это баг рипсера, и я вам тут просто дичь втираю про 3-гомологии 2-тора. Это понять тоже было бы ценно.
Вк мне написали, что тут дело не в момент-угол комплексе, а в четности: даже для окружности можно в фильтрации получить границу кроссполитопа - прямо перед тем, как все слипнется.
ОтветитьУдалить