Послушал доклад Циглера, и не могу не выложить задачу оттуда, ибо красиво. Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на N выпуклых кусков равных площадей и равных периметров?
Собственно, Циглер доказал, что это верно для N — степени простого числа. Доказательство симпатичное, но ХАРДКОР, МЕСИВО, МОЗГИ ПО СТЕНАМ.
Для остальных N ответ пока не известен.
Решение.
ОтветитьУдалить.
.
.
.
Если очень примерно, то:
1) Рассмотрим конфигурационное пространство X различных точек (N штук) на плоскости. Утверждается, точкам всегда можно приписать веса единственным образом, так чтобы аддитивно-взвешенное разбиение Вороного с центрами в точках делило многоугольник на куски равных объемов/площадей (Циглер при этом цитировал Optimal transportation theory). Таким образом получается корректно заданное и непрерывное отображение из конфигурационного пространства X в конфигурационное пространство Y всех равноплощадных разбиений данного многоугольника.
2) Каждому разбиению из Y сопоставим набор периметров (p_1,...,p_N) получившихся кусков, это отображение из Y в R^N. Теперь спроецируем каждую полученную точку (p_1,...,p_N) на плоскость L={x_1+...+x_N=0}, а именно вычтем из каждой координаты среднее арифметическое всех координат. Получили отображение из Y в L.
Допустим, что существует такой многоугольник, для которого не существует разбиения с равными площадями и равными периметрами. Получаем, что не все p_i равны между собой. Значит образ построенного отображения из Y в L не содержит 0, как нетрудно убедиться. А значит можно его нормировать и получить непрерывное отображение из Y в (N-2)-мерную сферу.
3) Заметим, что построенные отображения из X в Y и из Y в S^{N-1} эквивариантны относительно естественного действия группы перестановок \Sigma_N. На пространствах X и Y она просто перенумеровывает элементы, а на сфере S^{N-2} как группа Вейля типа A, короче, переставляет координаты.
4) Конфигурационное пространство N различных точек на плоскости, это штука клевая, но некомпактная: чтобы с ним работать придумывается некий \Sigma_N-эквивариантный гомотопический ретракт Z, имеющий явное комбинаторное описание как клеточный комплекс, склеенный из пермутоэдров. Детали конструкции не обсуждались, но выглядело правдоподобно.
5) В итоге из предположения, что существует плохой многоугольник, выводится, последовательность \Sigma_N-эквивариантных отображений Z-->X-->Y-->S^{N-2}, где Z --- это явно заданный клеточный комплекс. Дальше показывается, что такого отображения не существует при N равных степеням простых чисел.
6) Тут было некое рукомахательство, но вроде для достроения эквивариантного отображения в S^{N-2} надо смотреть на максимальный остов, то есть эквивариантно достраивать отображение с границы пермутоэдра на его внутренность. Из соображений степени отображения оказывалось, что это возможно в том и только том случае, когда имеет решение в целых числах линейное диофантово уравнение
1 + C_N^1x_1 + C_N^2x_2 + ... + C_N^{N-1} x_{N-1} = 0; (*)
(x_i --- сколько раз обматывается каждая из граней типа i пермутоэдра вокруг сферы. Поскольку отображение эквивариантно, так же должны обматываться все другие грани того же типа, а всего их --- биномиальный коэффициент. Задача --- такими обмотками получить степень отображения 1, чтобы оно хорошо продолжилось на внутренность пермутоэдра. Но тут я могу лажать, это было не до конца понятно.)
7) Уравнение (*) разрешимо в том и только том случае, когда НОД коэффициентов = 1, то есть НОД чисел в N-ой строке треугольника Паскаля равен 1.
8) Теперь известный факт: если N=p^k --- степень простого, то НОД(N-ой строки треугольника Паскаля) = p. Во всех остальных случаях НОД = 1. Циглер ссылался тут на работу некого индуса начала прошлого века, но ему, по сути, требуется только доказать, что для степеней простых чисел НОД не равен 1. Это школьная задачка.
9) Подводя итог: при N=p^k НОД(N-ой строки Паскаля)>1, значит уравнение (*) не имеет целых решений, значит не существует эквивариантного отображения из Z в S^{N-2}, значит предположение о том, что существует плохой многоугольник было неверным.